الجذور التربيعية والتكعيبية

• سنة النشر: 01 Jan 1970.
• عدد مرات التحميل: 502882 مرّة / مرات.
• تم نشره في: الإثنين , 14 ديسمبر 2015م.

وصف الكتاب:

الحمد لله رب العالمين والصلاة والسلام على سيد المرسلين، وبعد؛ لطالما أثار انتباهي أثناء تدريسي لمبحث الرياضيات للصفوف الدنيا موضوعا الجذور التربيعية والتكعيبية، فعندما كنت أتناول الدروس التي تحتويهما كنت غير مقتنع تماما ولا حتى الطلاب بالطرق المعروضة في تلك الدروس، وذلك للأخطاء الكبيرة التي تنتج من جراء استخدام تلك الطرق في إيجاد الجذور التربيعية والتكعيبية إذا ما قورنت بالنتائج التي نتحصّل عليها فيما إذا استخدمنا الآلة الحاسبة في إيجادها ولأن مستويات الطلاب في الصفوف الدنيا لا تسمح لهم بالخوض في أساليب ونظريات – تفوق مقدرتهم بكثير- يمكن من خلالها تقريب الجذور التربيعية والتكعيبية، كنظرية بلزانو (Belzano’s Theorem)، وطريقة نيوتن-رافسون (Newton-Raphson’s Method)، ومتسلسلة ذات الحدين (Binomial Series) وطريقة التقريب الخطي (Linear Approximation Method )، والتقريب باستخدام كثير حدود تايلور (Taylor Polynomials) وغيرها من الطرق الأخرى؛ لما تتطلبه أي منها إلى معرفتهم بمفاهيم أكبر من سنّهم، كالاشتقاق والمتسلسلات والتقريبات العديدة إلى غيرها من الأمور الأخرى، فإنني أخذت الأمر على محمل الجد وأشغلني كثيرا إلى أن توصلت إلى طريقة جديدة أسميتها “طريقة الحصر” (Restriction Method) والتي سوف أستعرضها من خلال هذه الدراسة، حيث أنه ومن خلال استخدام هذه الطريقة يمكن إيجاد قيم تقريبية للجذور التربيعية وقيم تقريبية للجذور التكعيبية بصورة بسيطة، تنتج قيما قريبة جدا من القيم الحقيقية لتلك الجذور، هذا بالإضافة إلى تقديمي مسبقا لعدة علاقات يمكن من خلال التطبيق عليها إيجاد كافة المربعات والمكعبات الكاملة قبل الخوض في الجذور التربيعية والتكعيبية للأعداد أما مادة هذا الكتاب، فقد حاولت أن تكون بسيطة ومتكاملة وتؤدي إلى الغرض الذي كتبت لأجله، فالفصل الأول فيه يتناول مفهوم المربع الكامل ومفهوم الجذر التربيعي وكيفية اكتشاف المربعات الكاملة، والفصل الثاني يتناول بعض الطرق المستخدمة لتقريب الجذور التربيعية، وقد ارتأيت تقديم ستة طرق في هذا الفصل ألا وهي على الترتيب الطريقة التقليدية المستخدمة في المناهج المدرسية طريقة بلزانو (Belzano’s Theorem) طريقة نيوتن-رافسون (Newton-Raphson’s Method) متسلسلة ذات الحدين (Binomial Series ) طريقة التقريب الخطي (Linear Approximation) التقريب باستخدام كثير حدود تايلور (Taylor Polynomials) أما الفصل الثالث من هذا الكتاب فيستعرض الطريقة التي تقدمها هذه الدراسة ألا وهي طريقة الحصر (Restriction Method) لتقريب الجذور التربيعية، حيث أنني أوردت في نهاية هذا الفصل مقارنة بسيطة للقيم التقريبية لبعض الجذور التربيعية المتحصلة من استخدام أغلب الطرق المستعرضة في الفصل الثاني، والطريقة التي تطرحها هذه الدراسة طريقة الحصر (Restriction Method) لتقريب الجذور التربيعية وعلى غرار ذلك، فإن الفصل الرابع يتناول مفهوم المكعب الكامل ومفهوم الجذر التكعيبي وكيفية اكتشاف المكعبات الكاملة، والفصل الخامس يعود ويتناول الطرق الستة المستعرضة في الفصل الثاني وذلك لتقريب الجذور التكعيبية للأعداد، أما الفصل السادس والأخير فيقدم طريقة الحصر (Restriction Method) مرة أخرى ولكنها تُقَدم هنا لتقريب الجذور التكعيبية، عارضا في هذا الفصل مقارنة بسيطة للقيم التقريبية لبعض الجذور التكعيبية المتحصلة من استخدام بعض الطرق المستعرضة في الفصل الخامس والطريقة التي تطرحها هذه الدراسة طريقة الحصر (Restriction Method) وأحب أن أنوه هنا بأنه يمكن تدريس هذه الطريقة أعني طريقة الحصر (Restriction Method) والتي تستخدم في تقريب الجذور التربيعية والتكعيبية، والعلاقات الرياضية التي يمكننا باستخدامها اكتشاف المربعات والمكعبات الكاملة لأحد الصفين السابع أو الثامن الأساسيين وأخيرا أود أن أشكر كل من ساهم على إنجاز هذه الدراسة، وعلى وجه الخصوص أشكر أخي الدكتور رضوان بطيحة والدكتور رمزي بدارنة الذي قام بقراءة مسودة هذا العمل وأبدى ملاحظات قيمة تم أخذها بعين الاعتبار، كما أوجه الشكر والعرفان إلى أبي وأمي وزوجتي وأولادي وأخوتي الذين سمحوا لي بوقتهم لإنجاز هذا العمل تهدف هذه الدراسة إلى تقديم طريقة جديدة في علم الرياضيات تساعد الباحثين والمتعلمين على إيجاد قيمة تقريبية للجذر التربيعي وقيمة تقريبية للجذر التكعيبي بطريقة مختصرة وبسيطة وقريبة جدا من قيمة الجذر التربيعي والجذر التكعيبي لذلك العدد إذا ما استخدمنا الآلة الحاسبة، كما وتقدم هذه الدراسة أيضا عدة علاقات رياضية يمكن من خلال التطبيق عليها اكتشاف كافة المربعات والمكعبات الكاملة للأعداد الطبيعية وقد اعتمدت طريقة الحصر ( Restriction Method ) التي تطرحها هذه الدراسة في اشتقاقها وفي تقريب الجذور التربيعية والتكعيبية من خلالها على أسلوب حصر العدد المطلوب إيجاد جذره التربيعي أو التكعيبي بين مربعين كاملين أو بين مكعبين كاملين على الترتيب، ومن ثم التطبيق على خطوات الطريقة للوصول إلى قيمة قريبة جدا من القيمة الحقيقية لجذر ذلك العدد سواء أكان تربيعيا أو تكعيبيا كما وقد اعتمدتُ أيضا في اشتقاق هذه الطريقة على اعتبار أن الوسط الحسابي لناتجي الجذرين التربيعيين للمربعين الكاملين هو تقريب أولي للجذر التربيعي للعدد المطلوب، وعلى اعتبار أن الوسط الحسابي لناتجي الجذرين التكعيبيين للمكعبين الكاملين هو تقريب أولي أيضا للجذر التكعيبي للعدد المطلوب ومن الجدير بالذكر هنا، أن القيمة الناتجة من جراء التطبيق على هذه الطريقة هي قيمة قريبة جدا من القيمة الحقيقية، وذلك أن الخطأ فيها يعد قليل جدا وسأتطرق من خلال هذه الدراسة إلى تقديم بعض الطرق الأخرى المستخدمة في تقريب الجذور التربيعية والتكعيبية، كالطريقة التقليدية التي تتبعها المناهج المدرسية، ونظرية بلزانو (Belzano’s Theorem)، وطريقو نيوتن-رافسون (Newton-Raphson’s Method)، ومتسلسلة ذات الحدين (Binomial Series)، وطريقة التقريب الخطي (Linear Approximation Method)، والتقريب باستخدام كثير حدود تايلور (Taylor Polynomials)، مقارنا الطرق الخمسة الأخيرة بالطريقة التي تعرضها هذه الدراسة وهي طرقة الحصر (Restriction Method )، وذلك من خلال إيراد العديد من الأمثلة التي تتطلب تقريبات للجذور التربيعية والتكعيبية، عارضا النتائج والأخطاء المتحصّلة من استخدامها جميعا